и так восстановить теоретическую последовательность, то мы всегда можем продолжать
процесс деления, пока не достигнем другого ряда: А1, В1, С1, где А1 и С1 еще
различаются друг от друга, но ни то, ни другое неотличимо от В1.
Исходя из упомянутых рассуждений, современные мыслители приложили массу усилий
для выделения различий между математическим и физическим континуумами. Очевидно,
что именно недостатки наших органов чувств создают эту проблему, это дает нам понять,
что сама суть нашего метода наблюдения не позволяет нам прийти к пониманию
истинной природы вещей.
Однако математический континуум обладает такими свойствами, что мы можем
бесконечно и каким угодно образом уменьшать разницу между любыми двумя матема-
тическими выражениями и при этом не нарушать правил и не попадать в ситуацию, когда
два элемента становятся неотличимыми друг от друга. Кроме того, математический
континуум является не только рядом значимых чисел, но и чисел другого рода, которые,
подобно целым числам, выражают связь между существующими понятиями, хотя и несо-
измеримы в понятиях этого ряда. Такие числа сами по себе являются частью своего
собственного континуума, который глубоко проникает в ряд целых чисел, не обязательно
затрагивая его. Например, тангенс угла, образованного пересечением двух прямых, при
изменении угла от нуля до 90° непрерывно изменяется от нуля до бесконечности. Но он
принимает целочисленное значение только при угле 45°, становится равным единице.
Можно сказать, что существует бесконечное количество таких рядов, обладающих
бесконечным числом членов. Вместо девяноста тангенсов углов, по одному градусу от 0
градусов до 90, можно получить в шестьдесят раз больше, если взять минуту вместо
градуса в качестве коэффициента прогрессии, и снова в шестьдесят раз больше, если
каждую минуту разделить на секунды. И так далее до бесконечности.
Все эти рассуждения строятся на утверждении, что каждое число не более чем выражение
отношения. Новая концепция, показанная в «КНИГЕ ЗАКОНА», конечно, ни в коем
случае не противоречит традиционной точке зрения, но дополняет ее очень важным с
практической стороны образом. Статистик, подсчитывая уровень рождаемости за
последние столетия, не учитывает особым образом рождение Наполеона. Это не
аннулирует результаты статистики, но демонстрирует, сколь ограничены ее возможности
даже самими объектами ее исследования. Рождение Наполеона имело большее влияние на
уровень смертности (и, таким образом, на уровень рождаемости), чем любое другое
явление, включенное в эти расчеты.
Необходимо сделать краткое отступление. Некоторые, возможно, все еще не осознают
этого факта, но математические и физические науки не имеют никакого отношения к
абсолютной истине, они заняты только отношениями между наблюдаемыми явлениями и
наблюдателем. Утверждение, что ускорение свободного падения равно тридцати двум
футам в секунду, является в лучшем случае грубейшим из приближений. Во-первых, это
относится только к Земле, многие знают, что на Луне оно в шесть раз меньше. Но даже на
Земле на полюсах и экваторе ускорение свободного падения заметно отличается, на него
оказывает влияние даже такая мелочь, как соседство горы.
Также ошибочно говорить о «повторяемости» эксперимента, так как в точности повторить
его условия невозможно. Воду нельзя вскипятить дважды, вода будет уже не та же самая,
да и наблюдатель не тот же самый. Когда человек говорит, что он спокойно сидит, он
забывает, что он мчится сквозь пространство с головокружительной скоростью.
Возможно, именно такие соображения и привели древних мыслителей к принятию того,
что истину можно найти только в математике, и они опрометчиво предположили, что
очевидная непоколебимость ее законов гарантирует их соответствие истине. Но
математика всецело является набором принятых правил, не менее, чем шахматы или
баккара. Когда мы говорим, что «две прямые линии не могут образовать замкнутую
фигуру», мы имеем в виду всего лишь то, что мы не можем представить себе, как же они
ее замкнут. Следовательно, истинность утверждения зависит от того, воспримет ли наш
разум это предположение как истину. Однако душевнобольной может твердо считать себя
жертвой таинственного преследования, а у нас нет причин верить ему. Бесполезно
возражать, что математические истины обладают универсальной точностью, поскольку
они ее не имеют. Убедить в этом даже тех немногих людей, которых мы обучили
простейшим теоремам геометрии, стоило немалых трудов. Лишь немногие из живущих
убеждаются в более глубоких результатах исследования или, по крайней мере, осознают
их. Нельзя ответить на эту критику, сказав, что можно убедить любого достаточно
обученного человека, ибо кто может гарантировать, что такое обучение не извращает
разум?
Но если отмести эти предварительные возражения, обнаруживается, что природой самого
утверждения является не более чем утверждение соответствий между нашими понятиями.
В выбранном примере у нас есть пять понятий: двойка, прямизна, линия, замкнутость и
пространство. Все они — не более чем понятия. Каждое из них обладает смыслом только
через некоторое соответствие с некоторыми другими понятиями. Невозможно дать
определение какого-либо слова, кроме как отождествляя его с двумя или более также
неопределенными словами. Попытка дать определение одним словом будет очевидной
тавтологией.
Таким образом, мы вынуждены прийти к заключению, что все исследования можно
заклеймить как obskurum per obskuris (объяснение темного еще более темным). Логически
наше положение даже хуже. Мы определяем А как ВС, где В — это DE, а С — это FG.
Помимо того, что этот процесс с каждым шагом увеличивает число неизвестных величин
в геометрической прогрессии, в конце концов неизбежно наступит момент, когда
определение Z затронет понятие А. В этот порочный круг попадают не только все
доказательства, но и сами формулировки понятий, на которых должно основываться
любое доказательство.
Можно было бы предположить, что вышеупомянутая цепочка рассуждений делает
невозможными любые заключения. Но она возникает только в том случае, когда мы
изучаем, насколько точны наши теории. Мы можем полагаться на то, что вода кипит при
температуре 100° по Цельсию*,
* Просматривая этот комментарий, я с изумлением заметил, что
упустил тот факт, что при самом определении градусной шкалы
за 100°С была взята температура кипения воды! На леднике
Балторо я наблюдал, как вода кипит при температуре около
84°С, и так часто определял свою высоту над уровнем моря по
точке кипения, что совсем забыл изначальные условия Цельсия.
хотя, если быть математически точным, вода никогда не кипит дважды при той же самой
температуре, а с точки зрения логики понятие «вода» является непостижимой тайной.
Вернемся к нашим так называемым аксиомам: две прямые линии не могут образовать
замкнутую фигуру. Одно
из наиболее важных открытий современной математики заключается в том, что это
утверждение, даже если принять определение используемых здесь различных терминов,
не является абсолютным, но строго относительным, и здравый смысл не способен
подтвердить его, как и в случае с кипящей водой. Так, Больяй, Лобачевский и Риман
окончательно доказали, что полноценная система геометрии может быть построена на
любой произвольной системе аксиом. Если принять, что сумма внутренних углов
треугольника больше или меньше, чем сумма двух прямых углов, вместо того, чтобы быть
Скачать книгу [0.23 МБ]
Пирамида
